Seguimos sacando pasatiempos del libro sobre matemáticas "Gardner para aficionados". Recordamos que Martin Gardner fue un brillante escritor y difusor de la matemática recreativa en el mundo. En esta ocasión hemos elegido el siguiente problema:

Un río separa dos ciudades: Dos barcos lo recorren en direcciones opuestas a velocidad constante, no necesariamente la misma, pero mantienen la misma velocidad a lo largo del trayecto. Más aún: cuando un barco llega del otro lado, da vuelta inmediatamente sin detenerse y vuelve hacia el lugar de origen. Repiten este proceso una y otra vez. Los dos barcos salen al mismo tiempo. Se encuentran por primera vez en el camino a 7 kilómetros de una de las costas y continúan su trayecto. Cuando cada uno llega al otro lado, da la vuelta inmediatamente (en forma ideal, claro está). Los dos barcos vuelven a encontrarse en una segunda ocasión, esta vez a 4 kilómetros de la costa opuesta. Pregunta: con estos datos ¿Cuál es el ancho del río?

Solución:

No sé cómo le habrá ido a usted, pero a mí el problema me entretuvo mucho tiempo. Ocupó varios ratos de mis días hasta que encontré una solución: trabajosa, intrincada, técnica y con un poco de física en el camino. Sería un caso típico de solución que nunca estaría incluida en un libro.

Pensé: “Tiene que haber una respuesta mejor. Gardner no pudo haber dicho que este problema le fascinó si esta (o una equivalente) es la única forma de contestar a la pregunta”. Fui hasta el libro de él y leí su solución: me pareció sencillamente extraordinaria y es por eso que la elegí y la quiero compartir. Acá va.

Fíjese en la Figura 1.1, en donde aparecen los dos barcos en cada una de las costas. Los voy a llamar A y B.

Figura 1.1. Los barcos se cruzan por primera vez.

Cuando se encuentran por primera vez en el punto C, lo hacen a 7 kilómetros de una de las costas, digamos la izquierda, desde donde salió A.

Preste atención a que A y B están en el mismo lugar (en C), cuando A ya recorrió 7 kilómetros desde que empezó su viaje. Se cruzan, pero siguen su marcha. En algún momento (no necesariamente el mismo), A llegará a la costa derecha, y B a la izquierda. Cuando cada u no llega a la otra orilla, da la vuelta sin perder tiempo y sale en dirección contraria.

Y ahora sabemos que, cuando se encuentran otra vez, lo hacen en un punto D que está a 4 kilómetros pero de la costa derecha (Figura 1.2).Figura 1.2. Segundo cruce de los barcos.

Ahora, quiero hacer una observación muy importante y que conduce hacia la solución del problema: cuando los barcos se encontraron la primera vez, entre los dos recorrieron el ancho del río. Todavía no sabemos cuánto mide este ancho, pero sí que la suma de los dos tramos que navegaron entre ambos resulta ser el ancho total del río (que es el dato que estamos buscando).

Por otro lado, cuando los dos hayan tocado la costa contraria, habrán recorrido el ancho del río dos veces: una vez A y otra vez B. El barco A lo recorrió de izquierda a derecha y el barco B en la otra dirección.

Y, por último, piense lo siguiente: al tocar la costa contraria, dan la vuelta y se encuentran nuevamente en D, que está a 4 kilómetros del lado derecho del río. En ese momento, entre los dos recorrieron el ancho del río una tercera vez: lo habían navegado dos veces cuando cada uno llegó del otro lado, y ahora tenemos que sumar las distancias recorridas por los dos cuando se encuentran en D.

Conclusión (provisoria): al encontrarse en D, si uno suma las distancias que recorrieron los dos, el resultado es que navegaron tres veces el ancho del río.

Este es un dato no menor que invito a que usted revea/piense. Más aún: le propongo que no siga leyendo si cree que no entendió. Vuelva atrás tantas veces como le haga falta y, obviamente, piense si está de acuerdo con lo que escribí más arriba, y hasta que no se convenza, le sugeriría que no siga avanzando con el texto. 

Ahora estamos de acuerdo en que, al llegar a D, entre los dos barcos recorrieron tres veces el ancho del río (sumados los tramos que hizo cada uno).

Quiero enfatizar otra vez dos hechos importantes:

1. Cuando se encuentran la primera vez, el barco A había recorrido siete kilómetros.
2. Además, en el momento del primer encuentro, entre los dos habían recorrido el ancho del río una vez.

Una conclusión importante entonces, es que cada vez que entre los dos recorren el ancho del río (no solo la primera vez, sino siempre), el barco A recorre siete kilómetros. Esto sucede porque los barcos mantienen una velocidad constante en el periplo que los lleva incesantemente de una costa a la otra.

Ahora estamos a un paso de encontrar la respuesta. Si estuviera junto a usted, le diría:

“Piense que al llegar a D, entre los dos barcos habían recorrido el ancho del río tres veces”. ¿Qué le sugiere esto? (¿quiere pensar la respuesta en soledad?).

Sigo: el barco A, al llegar a D, tuvo que haber navegado 21 kilómetros (siete kilómetros por cada vez que entre los dos completan el ancho, y al llegar a D, lo recorrieron tres veces). Por otro lado, cuando se encontró con B por segunda vez, estaba a cuatro kilómetros de la otra costa, ya que había llegado hasta allí y dio la vuelta.

Luego eso significa que el barco A hizo cuatro kilómetros más que el ancho del río, y por tanto, en lugar de 21 kilómetros, el río mide cuatro kilómetros menos: ¡17 kilómetros! ¡Listo!

Esta es la respuesta que buscábamos.

Gracias por haberlo intentado y enhorabuena si la encontró pensándolo.

Sacando del libro sobre matemáticas "Gardner para aficionados".

Dedicado a Rita.